Montrer que si \(\{e_1,\dots,e_k\}\) est une base, alors \(\operatorname{det}(G(e_1,\dots,e_k))\ne0\)

Existence d'une base orthogonale avec une matrice de passage triangulaire
Soit $$G=\begin{pmatrix}\langle e_1,e_1\rangle&\dots&\langle e_1,e_k\rangle\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \langle e_k,e_1\rangle&\dots&\langle e_k,e_k\rangle\end{pmatrix}$$
D'après le théorème de Gram-Schmidt, il existe une base orthogonale \(G^\prime\) telle que $$P=\begin{pmatrix}1&&*\\ &\ddots\\ 0&&1\end{pmatrix}$$ est la matrice de passage

Déterminant et expression de la matrice dans cette nouvelle base
On a \(\operatorname{det} P=1\) et \(G^\prime=P^TGP\), donc \(\operatorname{det} G^\prime=\operatorname{det} G\)
De plus $$G^\prime=\begin{pmatrix} Q(v_1)\\ &\ddots\\ &&Q(v_k)\end{pmatrix}$$

Calcul du déterminant \(\to\) obtention du signe

De plus, \(Q(v_i)\gt 0\) car \(Q\) est positif et les \(v_i\) sont non nuls pour \(i\in\{1,\dots,k\}\)
Donc $$\operatorname{det} G=\operatorname{det} G^\prime=\prod^k_{i=1}Q(v_i)\gt 0$$ donc \(\operatorname{det} G^\prime\ne0\)